Keskaegse matemaatiku Leonardo Fibonacci probleem küülikute kohta

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 03:53

Arvutage, millise järglase annab loomapaar järgmise aasta alguseks.

Leonardo Fibonacci oli silmapaistev keskaegne matemaatik. Arvatakse, et just tema võttis kasutusele araabia numbrid. Raamatus The Book of the Abacus, teoses, mis selgitab ja propageerib kümnendarvu aritmeetikat, esitab Fibonacci oma kuulsa jäneste probleemi. Proovige seda lahendada.

Jaanuari alguses pandi paar vastsündinud küülikut (isane ja emane) igast küljest aiaga piiratud aedikusse. Mitu paari küülikuid nad järgmise aasta alguseks toodavad? On vaja arvestada järgmiste tingimustega:

• Küülikud saavad suguküpseks kaks kuud pärast sündi, see tähendab kolmanda elukuu alguseks.
• Iga kuu alguses sünnitab iga suguküpse paar vaid ühe paari.
• Loomad sünnivad alati paaris "üks emane + üks isane".
• Küülikud on surematud, kiskjad ei saa neid süüa.

Vaatame, kuidas küülikute arv esimese kuue kuu jooksul kasvab:

1. kuu. Üks paar noori küülikuid.

2. kuu. Üks originaalpaar on veel alles. Küülikud ei ole veel fertiilses eas.

3. kuu. Kaks paari: algne, fertiilses eas + noor küülikupaar, kelle ta ilmale tõi.

4. kuu. Kolm paari: üks algne paar + üks paar küülikuid, kelle ta sünnitas kuu alguses + üks paar küülikuid, kes sündisid kolmandal kuul, kuid pole veel puberteediikka jõudnud.

5. kuu. Viis paari: üks algne paar + üks kolmandal kuul sündinud ja sünnitusikka jõudnud paar + kaks uut paari, kelle nad sünnitasid + üks paar, kes sündis neljandal kuul, kuid pole veel täiskasvanuks saanud.

6. kuu. Kaheksa paari: viis paari eelmisest kuust + kolm vastsündinud paari. Jne.

Selguse huvides kirjutame saadud andmed tabelisse:

Kui uurite tabelit hoolikalt, saate tuvastada järgmise mustri. Iga kord, kui küülikute arv n-ndal kuul on võrdne küülikute arvuga eelmisel kuul (n - 1), liidetuna vastsündinud küülikute arvuga. Nende arv on omakorda võrdne loomade koguarvuga (n - 2) kuu seisuga (see oli kaks kuud tagasi). Siit saate tuletada valemi:

F = F_n-1+ F_n-2, kus F - küülikute paaride koguarv n-ndal kuul, F_n-1 on küülikute paaride koguarv eelmisel kuul ja F_n-2 - küülikute paaride koguarv kaks kuud tagasi.

Loendame seda kasutades loomade arvu järgmistel kuudel:

7. kuu. 8 + 5 = 13.

8. kuu. 13 + 8 = 21.

9. kuu. 21 + 13 = 34.

10. kuu. 34 +21 = 55.

11. kuu. 55 + 34 = 89.

12. kuu. 89 + 55 = 144.

13. kuu (järgmise aasta alguses). 144 + 89 = 233.

13. kuu alguses ehk aasta lõpus on meil 233 paari küülikuid. Neist 144 on täiskasvanud ja 89 noored. Saadud jada 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 nimetatakse Fibonacci numbriteks. Selles on iga uus lõpparv võrdne kahe eelmise summaga.

Näita vastust Peida vastus