Alasti statistika on kõige huvitavam raamat kõige igavama teaduse kohta

2024 Autor: Malcolm Clapton | [email protected]. Viimati modifitseeritud: 2023-12-17 03:53

Kes ütles, et statistika on igav ja kasutu teadus? Charles Wheelan väidab veenvalt, et see pole kaugeltki nii. Täna avaldame katkendi tema raamatust selle kohta, kuidas statistikat kasutades võita auto, mitte kitse ja mõistame, et intuitsioon võib teid eksitada.

Monty Halli mõistatus

Monty Halli müsteerium on tõenäosusteooria kuulus probleem, mis tekitas 1963. aastal Ameerika Ühendriikides esilinastusel mitmes riigis endiselt populaarses mängus Let’s Make a Deal osalejaid hämmingus. (Mäletan iga kord, kui lapsepõlves seda saadet vaatasin, kui haiguse tõttu koolis ei käinud.) Juba raamatu sissejuhatuses tõin välja, et see mängusaade võib statistikutele huvitav olla. Iga selle numbri lõpus seisis finaali jõudnud osaleja Monty Halliga kolme suure ukse ees: uks nr 1, uks nr 2 ja uks nr 3. Monty Hall selgitas finalistile, et ühe ukse taga nendest ustest oli väga väärtuslik auhind – näiteks uus auto ja kahe teise taga kits. Finalist pidi valima ühe ukse ja saama selle, mis selle taga oli. (Ma ei tea, kas saates osalejate hulgas oli vähemalt üks inimene, kes soovis kitse saada, kuid lihtsuse huvides oletame, et valdav enamus osalejatest unistas uuest autost.)

Algset võidutõenäosust on üsna lihtne määrata. Seal on kolm ust, kaks peidab kitse ja kolmas peidab autot. Kui saates osaleja seisab koos Monty Halliga nende uste ees, on tal üks kolmest võimalusest valida uks, mille taga auto asub. Kuid nagu eespool märgitud, on teoses Let’s Make a Deal üks konks, mis jäädvustas selle teleprogrammi ja selle saatejuhi tõenäosusteooriaalases kirjanduses. Pärast seda, kui saate finalist osutab ühele kolmest uksest, avab Monty Hall ühe kahest allesjäänud uksest, mille taga on alati kits. Seejärel küsib Monty Hall finalistilt, kas ta soovib ümber mõelda, st loobuda varem valitud suletud uksest mõne teise suletud ukse kasuks.

Ütleme näiteks, et osaleja osutas uksele nr 1. Seejärel avas Monty Hall ukse nr 3, mille taga peitus kits. Kaks ust, uks nr 1 ja uks nr 2, jäävad suletuks. Kui väärtuslik auhind oleks ukse nr 1 taga, oleks finalist selle võitnud ja kui see oleks ukse nr 2 taga, siis ta oleks kaotanud. Sel hetkel küsib Monty Hall mängijalt, kas ta soovib oma esialgset valikut muuta (sel juhul loobuge uksest nr 1 ukse nr 2 kasuks). Muidugi mäletate, et mõlemad uksed on endiselt suletud. Ainus uus teave, mille osaleja sai, oli see, et kits sattus ühe kahest uksest, mida ta ei valinud.

Kas finalist peaks loobuma esialgsest valikust ukse nr 2 kasuks?

Vastan: jah, peaks. Kui ta jääb esialgse valiku juurde, on tõenäosus väärtusliku auhinna võitmiseks ⅓; kui ta mõtleb ümber ja osutab uksele nr 2, siis on tõenäosus väärtusliku auhinna võitmiseks ⅔. Kui te mind ei usu, lugege edasi.

Tunnistan, et see vastus pole esmapilgul kaugeltki ilmne. Näib, et kumba ülejäänud kahest uksest finalist valib, on tõenäosus saada väärtuslik auhind mõlemal juhul ⅓. Seal on kolm suletud ust. Esialgu on tõenäosus, et mõne neist peidetakse väärtuslikku auhinda, ⅓. Kas finalisti otsus muuta oma valikut mõne teise suletud ukse kasuks muudab midagi?

Muidugi, kuna konks on selles, et Monty Hall teab, mis on iga ukse taga. Kui finalist valib ukse nr 1 ja selle taga on tõepoolest auto, saab Monty Hall avada kas ukse nr 2 või ukse nr 3, et paljastada selle taga varitsev kits.

Kui finalist valib 1. ukse ja auto on 2. ukse taga, avab Monty Hall ukse 3.

Kui finalist osutab 1. uksele ja auto on 3. ukse taga, avab Monty Hall 2. ukse.

Muutes meelt pärast seda, kui saatejuht ühe ukse avab, saab finalist eelise valida ühe ukse asemel kaks. Püüan teid veenda selle analüüsi õigsuses kolmel erineval viisil.

Esimene on empiiriline. 2008. aastal kirjutas New York Timesi kolumnist John Tyerney Monty Halli fenomenist. Pärast seda töötasid väljaande töötajad välja interaktiivse programmi, mis võimaldab teil seda mängu mängida ja iseseisvalt otsustada, kas muuta oma esialgset valikut või mitte. (Programm näeb ette isegi väikseid kitsi ja autosid, mis uste tagant välja ilmuvad.) Programm salvestab teie võidud juhul, kui muudate oma esialgset valikut ja kui te ei jää veenduma. Ma maksin ühele oma tütrele selle mängu mängimise eest 100 korda, muutes iga kord tema esialgset valikut. Maksin ka tema vennale, et ta mängiks mängu 100 korda, säilitades iga kord algse otsuse. Tütar võitis 72 korda; tema vend 33 korda. Iga pingutust premeeriti kahe dollariga.

Tõendid mängu Let’s Make a Deal episoodidest näitavad sama mustrit. The Drunkard's Walk autori Leonard Mlodinovi sõnul võitsid need finalistid, kes muutsid oma esialgset valikut, umbes kaks korda tõenäolisemalt kui need, kes ei olnud selles veendunud.

Minu teine seletus sellele nähtusele põhineb intuitsioonil. Oletame, et mängureeglid on veidi muutunud. Näiteks alustab finalist, valides ühe kolmest uksest: uks nr 1, uks nr 2 ja uks nr 3, nagu algselt plaanitud. Ent enne mõne ukse avamist, mille taga kits peidab end, küsib Monty Hall: "Kas olete nõus oma valikust loobuma vastutasuks kahe allesjäänud ukse avamise eest?" Seega, kui valisite uks nr 1, võid muuta oma meelt uks nr 2 ja uks nr 3 kasuks. Kui osutasid esmalt uksele nr 3, saad valida uks nr 1 ja uks nr 2. Ja nii edasi.

See poleks sinu jaoks eriti raske otsus: on täiesti ilmne, et peaksid esialgsest valikust loobuma kahe allesjäänud ukse kasuks, sest see suurendab võiduvõimalust ⅓-lt ⅔-le. Kõige huvitavam on see, et sisuliselt just seda pakub Monty Hall teile päris mängus pärast ukse avamist, mille taga kits peidab end. Põhimõtteline tõsiasi on see, et kui sulle antaks võimalus valida kaks ust, peiduks neist ühe taga nagunii kits. Kui Monty Hall avab ukse, mille taga on kits, ja alles siis küsib, kas oled nõus esialgset valikut muutma, suurendab see oluliselt Sinu võimalust võita väärtuslik auhind! Põhimõtteliselt ütleb Monty Hall teile: "Tõenäosus, et väärtuslik auhind peidetakse ühe kahest uksest, mida te esimest korda ei valinud, on ⅔, mis on ikkagi rohkem kui ⅓!"

Võite seda niimoodi ette kujutada. Oletame, et osutasite uksele nr 1. Pärast seda annab Monty Hall teile võimaluse loobuda esialgsest otsusest ukse nr 2 ja ukse nr 3 kasuks. Nõustute ja teie käsutuses on kaks ust, mis tähendab, et teil on igal põhjusel oodata väärtusliku auhinna võitmist tõenäosusega ⅔, mitte ⅓. Mis oleks juhtunud, kui Monty Hall oleks sel hetkel avanud ukse 3 – ühe "teie" uksest - ja selle taga oleks olnud kits? Kas see fakt kõigutaks teie usaldust oma otsuse vastu? Muidugi mitte. Kui auto peiduks 3. ukse taha, avaks Monty Hall 2. ukse! Ta ei näitaks sulle midagi.

Kui mängu mängitakse koputamise stsenaariumi järgi, annab Monty Hall teile tõesti võimaluse valida alguses määratud ukse ja kahe ülejäänud ukse vahel, millest üks võib olla auto. Kui Monty Hall avab ukse, mille taga kits peidab end, teeb ta sulle lihtsalt teene, näidates, kumb kahest teisest uksest ei ole auto. Mõlema järgmise stsenaariumi korral on teil sama tõenäosus võita.

1. Valides uks nr 1, seejärel nõustudes „lülituma” uksele nr 2 ja uksele nr 3 isegi enne mis tahes ukse avamist.
2. Valides uks nr 1, seejärel nõustudes "lülituma" uksele nr 2 pärast seda, kui Monty Hall näitab teile ukse nr 3 taga olevat kitse (või valides ukse nr 3 pärast seda, kui Monty Hall näitab teile ukse nr 2 taga olevat kitse).

Mõlemal juhul annab esialgsest otsusest loobumine teile eelise kahe ukse ees ja võite seeläbi kahekordistada oma võiduvõimalusi ⅓-lt ⅔-le.

Minu kolmas variant on sama põhiintuitsiooni radikaalsem versioon. Oletame, et Monty Hall palub teil valida 100 ukse hulgast ühe (kolme asemel ühe). Pärast seda, näidates uksele nr 47, avab ta ülejäänud 98 ust, mis paljastavad kitsed. Nüüd jäävad suletuks vaid kaks ust: teie uks nr 47 ja teine, näiteks uks nr 61. Kas peaksite oma esialgsest valikust loobuma?

Muidugi jah! 99-protsendilise tõenäosusega on auto mõne ukse taga, mida te alguses ei valinud. Monty Hall tegi teile viisakust, avades neist 98 ust, nende taga polnud ühtegi autot. Seega on võimalus, et teie esialgne valik (uks nr 47) osutub õigeks, vaid 1:100. Samal ajal on tõenäosus 99 100-st, et teie esialgne valik oli vale. Kui jah, siis auto asub allesjäänud ukse taga ehk siis uks nr 61. Kui soovid mängida võidutõenäosusega 99 korda 100-st, siis tuleks "lülituda" uksele nr 61.

Lühidalt, kui peate kunagi mängima Let’s Make a Deali, peate kindlasti oma esialgsest otsusest taganema, kui Monty Hall (või kes iganes teda asendab) annab teile valikuvõimaluse. Universaalsem järeldus sellest näitest on see, et teie intuitiivsed oletused teatud sündmuste tõenäosuse kohta võivad teid mõnikord eksitada.